Énigme du 25 août : « Marie et Marc ne discutent pas! » (*)

Ainsi, Marie nettoie 1/30^ème de sa voiture par minute et Marc 1/20^ème. Transposons ces informations lorsque tous les deux lavent la même voiture. Nous pouvons écrire l’équation suivante avec t le temps de lavage: t/30 + t/20 = 1. 1 correspondant à la voiture lavée. Ainsi, après résolution t = 12 minutes.

Énigme du 26 août : « Une somme peut en cacher une autre! » (*)

Au 31 décembre de l’année en cours nous obtiendrons une somme égale à deux fois l’année en cours. En revanche au 1er janvier de cette même année, nous obtiendrons deux fois l’année en cours moins deux (Thibaut et son poisson n’auront pas encore soufflé leurs bougies).

Énigme du 27 août : « Pas d’athlète dopé mais du fractionné » (*)

Proportion = 1/7

Énigme du 28 août : « Une Moyenne imbriquée » (***)

Une fois les 4 équations établies, vous pouvez résoudre ce système en le réduisant (pour les plus aguerris, vous pouvez effectuer une triangularisation). (a;b;c;d) = (4,5;3,5;4,5;5,5)

Énigme du 31 août : « L’équerre change de profession! » (*)

Après mise en équation, développement de l’identité remarquable et élimination des termes élevés au carré. Vous obtenez x = 40 cm.

Énigme du 1er septembre : « Mieux vaut avoir les yeux dans le dos » (*)

Son chapeau est noir!

Énigme du 3 septembre : « Une inconnue remarquable » (**)

La seconde étape est de multiplier l’égalité n°2 (sous forme fractionnaire) par 2abc. Vous devriez en déduire que x = 1. ** (Méthode annexe: Répétez l’opération pour a et b, et sommez le tout!)

Énigme du 13 septembre : « Un second degré à débusquer » (** de Julia)

Développer l’identité remarquable, faire apparaître f(x) sous forme d’un quotient du second degré et obtenir f(x)≥2, remarquer que f(1)=2.

Énigme du 15 septembre : « Pesons les euros » (* d’Anaïs)

Essayer d’en mettre 2 de côté et de n’en peser que 6…

Énigme du 16 septembre : « Écriture sans double racine ! » (**)

On constatant que √3 est une solution particulière de l’équation. Vous devriez déterminer l’autre solution -√6.

Énigme du 21 septembre : « L’inconnue de trop! » (*)

Une fois la résolution de l’équation 2 faite (A = 4 et C = 2 et non l’inverse en vue de l’égalité 1). Vous pouvez en déduire grâce à l’équation 1 la valeur de B = 6.

Énigme du 24 septembre : « Mieux vaut brûler le livre! » (***)

Résolvez l’inéquation n(n+1)/2 ≤ 2013, et testez finalement pour n = 63, 62, 61. Vous devez comprendre dès lors que la page dédoublée ne peut être que la 61^ème et que le nombre de pages de ce livre est 62.

Énigme du 25 septembre : « Sans poser de multiplication » (* de Laura)

f(43) = 43² -42² = (42+1)² – 42². On remarque une identité remarquable. f(43) = (42+1+42).(42+1-42) = 85.1 = 85.

Énigme du 26 septembre : « Le produit en cascade » (*)

Au stade de cette écriture: f(1) = (1/2).(2/3).(3/4)………(2012/2013).(2013/2014), ne partez surtout pas dans une multiplication sans lendemain! Mais, remarquez plutôt une simplification possible de facteurs communs. Ainsi, f(1) = 1/2014.

Énigme du 28 septembre : « Qui n’aime pas le chocolat ? » (**)

8 personnes interrogées n’aiment pas le chocolat sur 160 donc 5%.

Énigme du 29 septembre : « Air ball finalement précis ! » (***)

Après une identité remarquable bien négociée: x = 10 m.

Énigme du 6 octobre : « Tu me prends vraiment pour un moulin à vent » (* d’Élisabeth)

Si vous testez avec A et O bien placées (O étant étrangement répété à plusieurs reprises en position 4), vous tomberez dans une impasse (ex. Y impossible à placer). En revanche, en testant avec I et O bien placées, A n’existant pas, vous tomberez sur 2 solutions répondant à ce problème: EIUOY ou UIAOY.

Énigme du 8 octobre : « Les Mathématiques et la Lecture » (*)

Dans cette énigme tout réside dans la lecture des Mathématiques et plus particulièrement dans la suite des chiffres. Ainsi, sur la première ligne où seul le chiffre 1 apparaît, nous nous poserons la question: « Que lisons-nous? » Et nous dirons, nous lisons une fois le chiffre 1 autant dire « un 1 » ainsi la seconde ligne s’écrira 11… Je vous laisse le soin de poursuivre…

Énigme du 13 octobre : « Et si la forme conjuguée ne suffisait pas ? » (***) (Spéciale TS)

Une fois factorisée, vous devez sortir x² de la racine. Cependant la limite étant en -∞, la valeur absolue de ¦x¦ sortie de la racine devient -x. Au finale la limite de f(x) est -2.

Énigme du 19 octobre : « Pas cher la casserole » (***)

En vous aidant également du volume de 2l, vous devez obtenir la fonction suivante: S(R) = πR² +4000/R. La dérivée vous conduit à un rayon minimal R = 10³√(2/π) proche de 9cm d’où 18cm de diamètre.

Énigme du 6 novembre : « Combinaison gagnante » (* de Charline) (2nde pro)

Il existe 9 combinaisons possibles par exemple « 12.456789 » (l’ordre n’a pas d’importance dans ce tirage. Ainsi la probabilité de tirer la combinaison gagnante est 1/9. Remarque avec les combinaisons de spé Maths terminale choisir 8 numéros parmi 9 = 9.

Énigme du 2 décembre : « Château limité » (** d’Héloïse) (Spéciale 1S)

U_n = 2(n+1) +3n(n+1)2. Résolvons U_n = 312 qui n’est autre qu’une équation du second degré. On trouve comme solution positive x ~13,26, donc le résultat est 13 niveaux envisageables avec ce nombre de cartes en comptant le niveau touchant le sol.

Énigme du 9 décembre : « Comment comparer les croissances ? » (*** de Fleur)(Spéciale TS)

Un changement de variable est donc nécessaire: posez X = 1/x et utilisez la propriété que e^-a = 1/e^a. Au final la limite est 0 par valeur positive.

Énigme du 15 décembre : « La balance se déséquilibre » (*)

Soit X le poids initial et X₁ le poids diminué de 10% à l’issue du premier mois: X₁ = X – 10/100X = 0,9X. X₂, le poids augmenté de 10% à partir du poids du premier mois: X₂ = X₁ +10/100X₁ = 110/100X₁ = 110/100 . 90/100 X = 99/100 X. Le poids aura donc diminué de 1% à l’issue des 2 mois.

Énigme du 18 décembre : « Quand arrivera l’ascenseur » (**)

Le 6^ième étage est à 42 m de hauteur. Il faut 6 s pour atteindre un étage soit 36 s pour le 6^ième sans pause. Il y a 3 arrêts à considérer soit 48 s supplémentaires. Au cumule l’ascenseur met 84 s pour atteindre le 6^ième étage. V_moy = 42/84 = 0,5 m/s = 1,8 km/h.

Énigme du 20 décembre : « Des cheveux dans les yeux » (*)

Énigme du 24 décembre : « Un problème de taille » (** de Fantine) (Spéciale 1S)

U_n+1=1,06U_n – 1,2 et n’essayez pas d’écrire sous forme explicite une suite arithmético-géométrique. Une fois l’écriture de U_n+1= f(U_n) établie, vous pouvez écrire un algorithme si vous le souhaitez. 2030 sera l’année à prendre en compte finalement, car cette année là sa taille aura dépassé les 100 cm de diamètre de la cheminée avant la tournée de la même année !

Énigme du 20 janvier : « Le carré parfait » (* de Damien)

Soit a un nombre : √(a)²=a. Or via l’identité remarquable, n²-6n+9 = (n-3)². Ainsi, √(n-3)²=n-3. Comme n est un entier par définition, n-3 l’est également.

Énigme du 1^er février : « Tu me prends vraiment pour un moulin à vent » (*)

Trois moulins moulent trois sacs de farine en trois heures. Neuf moulins moulent trois fois plus de sacs de farine (pendant le même laps de temps) en trois heures, ainsi neuf sacs. Finalement, en neuf heures neuf moulins moules 27 sacs de farine.

Énigme du 3 février : « Une collision s’impose ! » (*** de Marie Paula)

v(t)=at+V₀=-10t+50 et y(t)=-5t²+50t=5t(10-t). En 5 seconde le projectile 1 aura atteint sa hauteur maximale de 125m car V(5)=0m.s^-1. Décalé de 1s, le projectile 2 sera a y(4)=120m et v(4)=10m.s^-1. Retravailler les conditions initiales lors de la phase de descente, les projectiles entreront en collision après 4,5s et à une hauteur de 123,75m.

Énigme du 12 février : « Des noms bien curieux » (**)

Énigme du 13 février : « Maudit pigeon! » (*** Spéciale Terminale S)

Une fois la seconde loi de Newton et les équations horaires établies, vous devez être en mesure d’exprimer l’équation de la trajectoire de la balle de golf:

• y = -gx² / (2Vo²cos²α) + xtanα

Vous savez que la balle heurte le pigeon en un point précis de coordonnées (103,15 ; 32).

En ayant en tête la formule trigonométrique suivante 1/cos²α = 1 + tan²α et en posant X = tanα, vous vous retrouvez à résoudre un polynôme du second degré. 2 valeurs de l’angle α sont solutions de ce trinôme. Seul le petit angle est réaliste d’un point de vue physique: α = 20,2° (avec 3 chiffres significatifs).

Énigme du 15 février : « Un problème d’équivalence » (* de Solène)

Partons de la 2^ème équivalence 55 + 7 =222, ainsi 55 + (2+55) = 222, suivi d’une simplification 5555 = 22, réduit à nouveau à 55=2. Reprenons la 1^ère équivalence en prenons en compte ce dernier résultat: 2 + 55 = 7, ainsi (55) + 55 = 7 ou encore 5555 = 7. Si 5 vaut 1, alors 2 vaut 2 et 7 vaut 4. La proposition A) 77225722 est la plus grande valeur comptant pour 21 contre 20 pour les 3 autres.

Énigme du 23 février : « 2 méthodes à comparer! » (*** Spéciale Terminale S)

Méthode 1: factoriser x+1 par x, utiliser la propriété ln(ab) = lna + lnb. Enfin, utiliser la croissance comparée. Méthode 2: x=ln e^x, utiliser ln(a/b) cette fois, effectuer un changement de variable X=x+1, utiliser les propriétés liées aux exponentielles e^a-b=e^a.e^-b, utiliser les propriétés des logarithmes à nouveau puis la croissance comparée. Réponse -∞.

Énigme du 12 mars : « La boucle est bouclée » (*)

      4. La girafe car elle est toujours dans le frigo.

5. Oui car les crocodiles sont à l’anniversaire du lion.

6. L’avion aurait-il perdu quelque chose ?

Énigme du 15 mars : « Des satellites en révolution » (*** de Lucie)

Nous sommes finalement en train de résoudre un sujet typique de Spécialité Maths. Pour déterminer une solution particulière de l’équation diophantienne 35u-27v=2, remonter les équations euclidiennes lors du calcul du PGCD: 1 = 27×13 +35x(-10). Multiplier par 2, soustraire les 2 équations, utiliser le théorème de Gauss, pour k=1:  u=7 et v=9. Ainsi, 9×81 = 729 jours à patienter!

Énigme du 16 mars : « Message matriciel égaré ? » (***)

Combiner le système avec la remarque précédente doivent vous conduire à: x1 congru à (16y1+5y2) [26] et x2 congru à (15y1+6y2) [26]. Le décodage est désormais à votre portée 🙂

Énigme du 25 mars : « Chute en parachute à vitesse contrôlée » (*** de Clara)

Une fois les projections réalisées, vous devez exprimer l’accélération a, puis l’équation horaire liée à V(t). Un effort supplémentaire est nécessaire à savoir isoler V. Enfin, à la limite V=mg/µ = 200 kmh^-1 dans ce système étudié.

Énigme du 27 mars : « Changer de vitesse, mais quel rapport ? » (*** de Clara)

x_B = 15(t-1) +20 et x_A = 10t +100 avec t le temps nécessaire pour B de rattraper A. t = 19 s.

Énigme du 1^er avril : « To be or not to be » (*)

… d’Avril !

Énigme du 9 avril : « Angle de tir » (*** Spéciale Terminale S)

La réalisation de cette énigme nécessite de bien connaître ses formules trigonométriques à savoir sin(2α)=2sinαcosα et tanα=sinα/cosα. Enfin α=45°

Énigme du 15 avril : « Singapore Maths Olympiad 2015 » (***)

Finalement, seules 5 dates persistent en juillet et en août. Les jour 14 s’éliminent aisément car Bernard découvre la date d’anniversaire (14  apparaît 2 fois). Bernard n’a plus de difficulté pour déterminer la date puisqu’il connait le jour. En revanche la dernière réplique d’Albert nous révèle la date précisément puisque seul le 16 juillet ne présente aucune ambiguïté!